벡터의 기초(Introduction to Vector)
● 벡터 : 수의 순서쌍
보통 벡터(Vector)를 '크기와 방향을 가진 양' 으로 정의하고 크기만 갖고 방향은 없는 양을 스칼라라고 정의하는데, 단순하게 수의 순서쌍이라고 표현해도 된다. 올바른 정의는 아니지만 이것이 이해하기에 더 쉬웠다.
벡터는 순서를 생각해야하는 반면에 집합은 순서를 생각하지 않는다. 집합 A = {1, a, 3}와 집합 B = {1, 3, a}를 비교해 보면 순서에 상관없이 들어 있는 원소는 모두 같으므로 두 집합 A, B는 같은 집합이다.
반면에 벡터(Vector)는 순서쌍이기 때문에 순서가 매우 중요하다. 집합을 A, B, X같이 표현 한다면
벡터는 이처럼 문자 위에 화살표를 그려서 표기한다. 그러면 예시를 한번 보자
순서쌍을 표시하기 위해서는 위와같이 소괄호를 이용한다. 위 두가지 벡터는 엄연히 다른 벡터이다. 순서가 다르기 때문이다. (1, a, 3)처럼 세 개의 수로 이루어 진 순서쌍을 3차원 벡터라고 하고 (1, -2)처럼 두 개의 수로 이루어진 순서쌍을 2차원 벡터라고 한다. (2)처럼 한개의 수로 이루어진 순서쌍을 1차원 벡터라고 말하기도 하지만 1차원 벡터는 스칼라(실수)를 의미한다
순서쌍의 예시를 보자
먼저 복숭아, 파인애플, 오렌지를 판다고 가정해보자 어느날은 복숭아가 3개, 파인애플 4개, 오렌지가 2개 팔렸다면 보통 사람들은 다음과 같이 장부에 적을 것이다.
오늘의 판매량 : 복숭아 3개, 파인애플 4개, 오렌지 2개
하지만 매일 이렇게 적으면 글을 적기가 불편할 것이다. 더 좋은 방법은 다음과 같이 적는 것이다.
오늘의 판매량: (3, 4, 2)
처음은 복숭아, 둘째는 파인애플, 셋째는 오렌지라고 약속을 한다면 훨쒼 일이 쉬워질것이다. 그럼 만약 (2, 3, 4)와 같은 것일까? 아니다 여기서 (3, 4, 2)와 (2, 3, 4)는 전혀 다른 것이다. 바로 그날 판매한 각각의 과일의 수가 다르기때문이다.
다른예시를 한번 더 보자.
철수가 시험을 보았는데 중간고사 80점, 기말 고사 90점, 수행평가 85점을 맞았다면 보통 사람은 다음과 같이 적을 것이다.
철수 성적 : 중간고사 80점, 기말고사 90점, 수행평가 85점
이런 식으로 반 학생들의 성적을 모두 적는것은 무리가 있기 때문에 아래의 방법을 이용해 적어볼 것이다.
철수 = (80, 90, 85) 민수 = (75, 80, 90)
이런식으로 적을 때 처음 수가 무엇이고 둘째 수가 무엇인지를 알면 일이 줄어든다. 이렇게 순서를 정해서 수를 나열한 순서쌍을 벡터라고 하면 각각의 수를 벡터의 성분이라고 한다. 알고 보면 벡터는 정말 쉬운 것이다.
● 벡터의 상등
어제의 판매량이 (3, 1, 4)이고 오늘의 판매량이 (3, 1, 5)라면 어제와 오늘의 판매량은 같을까? 아니라고 답할 것이다. 그러면 오늘의 판매량이 (3, 4 ,1)이라면 같을까? 역시 아니다 (3, 1, 4)경우에만 같다고 말할 것이다. 두벡터가 서로 같다는 것은 각각의 성분이 같다는 것이다. 당연히 순서도 같아야 하고 차원도 같아야 한다.
위와 같은 3차원 벡터의 경우에는 두 벡터가 같다는 것은 세 성분이 모두 같아야 하므로 성분으로 이루어진 세 개의 등식을 모두 만족시켜야 한다. 이중 하나라도 만족하지 않으면 두 벡터는 같지 않다.