벡터의 내적

● 벡터의 내적

(벡터)X(벡터)를 시작 할 것이다. 과일 문제에 비유하여 시작할 것이다. 복숭아, 파인애플, 오렌지의 오늘의 판매량이 (2, 4, 3)이라고 하고. 그리고 각각 의 가격이 (50, 80, 60) 이라고 한다. 그럼 복숭아는 50원, 파인애플은 80원, 오렌지는 60원이라는 것을 알 수 있다. 그렇다면 오늘의 매출은 얼마일까? 내 생각엔 600원 일 것 같다.

(2, 4, 3) X (50, 80, 60) = (2 X 50) + (4 X 80) + (3 X 60) = 100 + 320+ 180 = 600

한가지 예를 더 들어보면 민희의 1학기 중간고사, 기말고사, 수행평가의 성적이 (80, 90. 70)이고 각각의 성적의 반영 비율이 (40%, 40%, 20%) 일 때, 민희의 1학기 성적은 몇 점 인가? 이것도 위의 방식 처럼 계산해보자

(80, 90, 70) X (0.4, 0.4, 0.2) = (80 X 0.4) + (90 X 0.4) + (70 X 0.2) = 32 + 36 + 14 = 82

이것이 바로 벡터의 내적 연산법이다. 전혀 새로운 것이 아니다. 벡터의 내적은 아래와 같은 식으로 정의한다.

★벡터의 내적의 결과물은 벡터가 아닌 스칼라인 것을 기억하자. 그렇기 때문에 벡터의 내적(Inner product)은 다른 말로 스칼라 곱(scalar product)이라도 한다. 또한 가운데에 점을 찍기 때문에 dot product 라고도 한다.

 

또한 벡터의 내적은 위에 두식처럼 표현하지만, 아래식 처럼은 절대로 적지 않는다. 벡터의 외적(outer product) 혹은 × 기호를 사용하기 때문에 cross product 라고 하고, 후자를 가리켜 벡터의 다이아드 곱(diadic product)이라 한다. 벡터의 내적을 표현할 때는 반드시 가운데에 점을 찍어야 한다. 아래 예제를 보자.

벡터의 크기는 위 두식처럼 표현하며, 아래 두식으로 정의한다. 또한 영벡터가 아닌 두벡터는 내적이 0이라면 두벡터는 서로 직교(orthogonal)한다고 말한다. 기호는⊥이다.  위의 예제에서 내적의 결과가 0이 된경우를 생각해보면 왜 직교라는 말을 쓰는지 알 수 있다. 내적에서는 다음과 같은 성질이 있다.

이제 벡터의 내적에대한 증명을 볼 것이다. 3차원 벡터의 경우이다.

* 표한 등식은 실수의 곱셈에 대한 교환법칙을 이용했다.  n차원 벡터는 시그마를 통하여 표현할 수도 있다.